La asombrosa Inducción matemática









Inducción matemática, axioma y a veces método de demostración usando el axioma de inducción. La inducción matemática no debe confundirse con la inducción en otros campos, en donde se define como la técnica de extracción de conclusiones generales a partir de un gran número de casos o experimentos individuales. En matemáticas, esta conclusión, aunque pueda parecer completamente razonable, puede ser falsa. Sin embargo, la inducción matemática se usa a menudo para verificar, o probar, una conjetura obtenida mediante inducción no matemática. Hablando con precisión, el axioma de inducción dice: si M es un conjunto de enteros positivos, con las siguientes propiedades
IA. M contiene al entero 1, y,
IIA. si M contiene al entero n, se puede demostrar que M contiene además al entero n + 1,
entonces M contiene a todos los enteros positivos.
La primera parte del axioma de inducción, IA, suele llamarse base, y la segunda parte, IIA, parte inductiva. El axioma de inducción es útil para demostrar ciertas expresiones matemáticas. Suponiendo que la proposición P(n) es verdadera o falsa dependiendo sólo del valor de la n, el axioma de inducción se puede utilizar para demostrar que si
IB. P(1) es verdadera, y
IIB. el saber que P(n) es verdadera, implica que P(n+1) es también verdadera,
entonces P(n) se cumple para cualquier n.
Por ejemplo, sea P(n) la afirmación de que la suma de los n primeros enteros positivos es igual a la mitad del producto de los enteros n y (n + 1). Utilizando símbolos, esto se puede expresar como
Dado un entero cualquiera n, si se quiere comprobar si P(n) es verdadera, habría que insertar la n en la proposición (a), y comprobar que ambos lados de (a) son equivalentes. Para demostrar que P(n) es verdadera utilizando la inducción matemática, basta con comprobar que se cumplen las condiciones IB y IIB. Primero se comprueba que IB es verdadera. Para n = 1, la proposición (a) se convierte en
por lo que P(1) es verdadera.
A continuación, hay que demostrar que si P(n) es verdadera, entonces P(n+1) también lo es. Para n = n+1, el lado izquierdo de (a) es
Como se asume que P(n) es verdadera, (b) se puede escribir como
Sacando el factor común (n + 1) fuera de la expresión y simplificando, se muestra que (c) es equivalente a
que es P(n+1). Recordando que esta expresión es equivalente a (b), se ha confirmado que si P(n) es verdadera, entonces P(n+1) también es verdadera. Por tanto, se cumple la condición IIB y entonces se puede concluir que P(n) es verdadera para todo n.


sábado, 5 de febrero de 2011

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