Teoría de ecuaciones, rama de las matemáticas que estudia la naturaleza de las raíces de ecuaciones polinómicas y los métodos de búsqueda de dichas raíces. La teoría de las ecuaciones tiene aplicaciones en todas las ramas de las matemáticas y de las ciencias.
Una ecuación polinómica tiene la siguiente forma general a0 + a1x1 + a2x2 + ... anxn = 0en donde los coeficientes a0, a1, ..., an son números cualesquiera. El grado de una ecuación polinómica es igual al número entero positivo n, si an ≠ 0. Una raíz es un valor de la x tal que al sustituir dicho valor en la ecuación polinómica se obtiene 0 = 0. Para resolver una ecuación polinómica, hay que encontrar todas las raíces de la ecuación.
Una ecuación lineal es una ecuación de primer grado que sólo tiene una raíz. La única raíz de la ecuación lineal ax + b = 0 es x = -b/a. La ecuación cuadrática, o de segundo grado, ax2 + bx + c = 0, tiene dos raíces, dadas por la fórmula
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COMIENZOS |
Hasta el siglo XVII, la teoría de ecuaciones estuvo limitada pues los matemáticos no fueron capaces de aceptar que los números negativos y complejos podían ser raíces de ecuaciones polinómicas. Sólo los antiguos matemáticos indios, como Brahmagupta, conocían las raíces negativas, pero fuera de China e India no se trabajaba con coeficientes negativos en los polinomios. En vez de un solo tipo de ecuación de segundo grado, el mencionado más arriba, había seis tipos distintos, según cuáles fueran los coeficientes negativos.
Un método de resolución de ecuaciones que puede encontrarse en antiguos libros egipcios y chinos, es el de la falsa posición. Por ejemplo, para resolver la ecuación x + x/7 = 19, primero se toma una aproximación de la x que simplifique el cálculo del primer término, como x = 7. Al sustituir la x por 7 en esta ecuación, el resultado es 8 en vez de 19. Por tanto, se necesita un factor corrector que se obtiene dividiendo 19 por 8. Este factor, 2–, se multiplica por el primer valor, 7, con lo que se encuentra que la raíz de la ecuación original es 16š. Los egipcios utilizaban el método de la falsa posición para encontrar una raíz en ecuaciones de segundo grado sencillas. Para ecuaciones cuadráticas con un término en x, como x2 - 5x = 6, las primeras soluciones no se encuentran hasta en los libros de matemáticas babilonios del 2000 a.C. Aunque los babilonios no conocían las raíces negativas ni las complejas, su método de búsqueda de las raíces positivas reales es el mismo que se utiliza en la actualidad.
Otro importante descubrimiento del mundo antiguo, que se puede encontrar en los escritos del matemático y científico griego Herón de Alejandría en el siglo I, es un método de aproximación de la raíz positiva de ecuaciones como x2 = 2. En este método, primero se toma una aproximación como ” para calcular una nueva aproximación utilizando la regla [” + 2/(”)]/2, o 17/12. Si se repite este procedimiento se obtiene 577/408, que es una buena aproximación de Ã. Estas aproximaciones y cálculos repetidos se denominan iteraciones. Un método iterativo muy útil, que se encuentra en los trabajos de los matemáticos chinos Liu Hui (en el siglo III) y Chu Shih-Chieh (en el siglo XIII), fue redescubierto en Europa hacia 1800 por el matemático inglés W. G. Horner. También había sido usado por el matemático árabe Yamschid al-Kaschi. Entre otros matemáticos árabes que hicieron importantes contribuciones a la teoría de ecuaciones se incluyen al-Jwarizmi y Omar Jayyam, que desarrollaron la primera teoría de las ecuaciones cúbicas. Sin embargo, esta teoría estaba definida en términos geométricos y era, por tanto, incompleta.
SOLUCIONES GENERALES |
En 1545 el matemático italiano Gerolamo Cardano publicó una solución algebraica para las ecuaciones de tercer grado en función de sus coeficientes y Niccolò Tartaglia la desarrolló. Poco después, Ludovico Ferrari, alumno de Cardano, encontró una solución algebraica para las ecuaciones de cuarto grado.
En 1629 el matemático francés Albert Girard aceptó raíces de ecuaciones tanto negativas como complejas y fue, por tanto, capaz de finalizar el aún incompleto estudio que François Viète había realizado sobre la relación entre las raíces de una ecuación algebraica y sus coeficientes. Viète había descubierto que si a y b son las raíces de x2 - px + q = 0, entonces p = (a + b) y q = a·b.
Generalizando, Viète demostró que si el coeficiente del término de mayor grado de la ecuación p(x) = 0 es la unidad, entonces el coeficiente del segundo término de mayor grado cambiado de signo es igual a la suma de todas las raíces; el coeficiente del tercer término es igual a la suma de todos los productos formados al multiplicar las raíces de dos en dos; el coeficiente del cuarto término cambiado de signo es igual a la suma de todos los productos que resultan de multiplicar las raíces de tres en tres. Si el grado de la ecuación es par, el coeficiente del último término es igual al producto de todas las raíces; si es impar, es el producto de todas las raíces cambiado de signo. Viète también aportó importantes métodos numéricos para encontrar aproximaciones a las raíces de una ecuación.
En 1635 el matemático y filósofo francés René Descartes publicó un libro sobre la teoría de ecuaciones, incluyendo su regla de los signos para saber el número de raíces positivas y negativas de una ecuación. Unas cuantas décadas más tarde, el físico y matemático inglés Isaac Newton descubrió un método iterativo para encontrar las raíces de ecuaciones. Hoy se denomina método Newton-Raphson, y el método iterativo de Herón mencionado más arriba es un caso particular de éste.
A finales del siglo XVIII, el matemático alemán Carl Friedrich Gauss demostró que cualquier ecuación polinómica tiene al menos una raíz. Sin embargo, quedaba aún por saber si era posible expresar esta raíz con una fórmula algebraica utilizando los coeficientes de la ecuación, como se había encontrado para las de segundo, tercer y cuarto grado. El astrónomo y matemático francés Joseph Lagrange dio un paso importante para resolver esta cuestión con su método de permutación de las raíces de una ecuación para el estudio de sus soluciones. Este fructífero concepto, junto con los trabajos del matemático italiano Paolo Ruffini, del noruego Niels Abel y del francés Évariste Galois, condujo a una teoría completa de los polinomios. Entre otras cosas, esta teoría demuestra que un polinomio sólo se puede resolver utilizando una fórmula algebraica general si es de cuarto grado o menor. El trabajo de Galois también sirvió para resolver dos famosos problemas que se remontaban a los antiguos griegos: Galois demostró que es imposible dividir algunos ángulos en tres partes iguales utilizando sólo el compás y la regla recta, y que es imposible construir un cubo cuyo volumen sea dos veces el de un cubo dado.
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